Los Números Complejos 

Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno. La clase Complejo constará de dos miembros dato, la parte real real, y la parte imaginaria imag, ambos del tipo predefinido double. 

Noción de número complejo.

   En el Cálculo nos encontramos que ecuaciones como:  x² + 4 = 0, no tienen solución en los dominios de R (conjunto de números reales).  Un modo de superar esta limitación es definir un super-conjunto C que englobe al conjunto R, pero que abarque también a números más generales, los llamados números complejos, que puedan ser soluciones de ecuaciones como la de arriba.

   * Unidad imaginaria: Se define unidad imaginaria, representada por i, como aquel 'número' de C tal que:  i²=-1,  o también expresado (de forma mnemotécnica)

   *  Número complejo:  La forma general (forma binómica) es:

a + bi

es decir, un número complejo está formado por dos números reales, a y b, llamadas:

          a:   parte real
          b:   parte imaginaria

por ejemplo:  5 - 7 i,  -4 + 8 i, ½ + ¾ i.

   C.2  El cuerpo C de los números complejos

  En el conjunto C de los números complejos se definen las dos operaciones internas, + y . , cuyo funcionamiento es como sigue:

  Suma:  se suman partes reales y partes imaginarias por separado. 

  Producto: se multiplican según la regla aritmética. 

  1.   (C, +) tiene estructura de grupo abeliano aditivo, donde 0 + 0 i es el elemento neutro, y cualquier elemento, a + bi, tiene su opuesto, el  -a - bi.

  2.  (C, . ) tiene estructura de grupo abeliano aditivo, donde 1 + 0 i es el elemento neutro, y cualquier elemento, a + bi, tiene su inverso.

  3.   Además la operación "." es distributiva respecto de la "+", lo que signitica que (C,+,.) represente un cuerpo conmutativo.

  C.3  Representación según el diagrama de Argand.

  Sea un número complejo cualquiera, z=a+bi, existe una representación sobre un plano (llamado diagrama de Argand), en el que sobre dos ejes perpendiculares  se coloca sobre el eje horizontal (eje real) la parte real de z, a, y sobre el eje vertical (eje imaginario) la parte imaginaria de z, b, se trazan sendas paralelas a los ejes (líneas punteadas en la figura) y su punto de corte es la punta del fasor z.

 (NOTA: Se llama fasor a un vector cuyo punto de aplicación es fijo, en el caso de números complejos éste es el origen).

 En esta representación es de destacar, sobre el triángulo rectángulo inferior de la figura:

 *  que a y b son precisamente los catetos de ese triángulo rectángulo.

 *  que la hipotenusa es la longitud del fasor z, esta longitud se llama "módulo de z", y se la representa por |z|, o también por 'r'.

 *  que el ángulo que forma z con el eje positivo real (en sentido anti-horario), q, es llamado "argumento de z".

 El argumento q, a veces suele expresarse como arg(z), y el módulo, |z| ó r, a veces se le representa por mód(z).

  Forma trigonométrica: 

  A esta forma de expresar el número complejo,  z = r (cos q + i sin q) se la llama forma trigonométrica. El ángulo q suele expresarse en radianes (seguir el vínculo para repasar este concepto), aunque también puede ser expresado en grados sexagesimales.

En las matemáticas, estos números representan un grupo que son considerados como puntos del plano y que se les conoce como el plano complejo. Este grupo incluye a los números reales y a los imaginarios. Una característica resaltante de estos números es el teorema fundamental del álgebra, el cual manifiesta que cualquier ecuación algebraica de grado “n” tendrá específicamente “n” soluciones complejas.

El concepto de números complejos surge ante la imposibilidad de los números reales de incluir a las raíces de orden par, del grupo de números negativos. Por lo tanto, los números complejos tienen la capacidad de mostrar todas las raíces de los polinomios, cosa que no pueden hacer los números reales.

Como ya se ha mencionado, los números complejos suelen usarse en diversas ramas de las matemáticas, física e ingeniería y es que gracias a sus características tienen la capacidad de representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. En la electrónica y en las telecomunicaciones, es frecuente el uso de los números complejos.

Según registros históricos, el matemático griego Herón de Alejandría, fue uno de los primeros en plantear la aparición de los números complejos, esto debido a las dificultades que surgieron al momento de construir una pirámide. Pero no fue sino hasta el siglo XVl, cuando los números complejos comenzaron a ocupar un lugar significativo dentro de las ciencias. Es importante resaltar que para ese entonces se buscaban fórmulas que permitieran la obtención de raíces exactas de los polinomios de nivel 2 y 3. Por lo tanto su interés era el de hallar las raíces reales de las ecuaciones que se mencionaron anteriormente, así como también luchar con las raíces de cifras negativas.

Revisa las siguientes fuentes: 

https://www.youtube.com/watch?v=LqyBrrgmIro

Prof. Dionicio Ramírez Suarez